Question

已知函数f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若t＜0，不等式tx²+2t²lnx-2t（t+1）x+1≤0对x＞0恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的导函数，令f′′（x）=0，解得x的值，讨论f′′（x）＞0时，f（x）增，f′′（x）＜0时，f（x）减；
（2）不等式tx²+2t²lnx-2t（t+1）x+1≤0可化为-2t[-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x]≤-1，由f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x，得f(x)≤

1

2t

；
即f（x）在（0，+∞）上的最大值f（x）_max≤

1

2t

，求出t的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x，定义域为（0，+∞）；
∴f′(x)=-x-

t

x

+t+1=-

x2-(t+1)x+t

x

；
令f′′（x）=0，则x=1或x=t；
①当t≤0时，有x∈（0，1）时，f′′（x）＞0，
x∈（1，+∞）时，f′′（x）＜0；
∴f（x）的增区间是（0，1），减区间是（1，+∞）；
②当0＜t＜1时，有x∈（0，t）时，f′′（x）＜0，
x∈（t，1）时，f′′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′′（x）＜0；
∴f（x）的增区间是（t，1），减区间是（0，t）和（1，+∞）；
③当t=1时，有x∈（0，+∞）时，f′′（x）≤0；
∴f（x）的减区间是（0，+∞）
④当t＞1时，有x∈（0，1）时，f′′（x）＜0，
x∈（1，t）时，f′′（x）＞0，x∈（t，+∞）时，f′′（x）＜0；
∴f（x）的增区间（1，t），减区间（0，1）和（t，+∞）；
（2）∵不等式tx²+2t²lnx-2t（t+1）x+1≤0，
∴-2t[-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x]≤-1；
又∵函数f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x，∴f(x)≤

1

2t

；
由t＜0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（x）_max=f（1）；
∴

1

2t

≥f(x)max=f(1)=t+

1

2

；
即2t²+t-1≥0，解得t≤-1或t≥

1

2

，
又t＜0，∴t≤-1；
∴t的取值范围是{t|t≤-1}．

点评：本题考查了应用导函数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，解不等式恒成立问题，是易错题．