题目内容
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1.求证:a2+b2+c2≥
.
证法一:∵1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
又2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ca≤c2+a2,
∴2(ab+bc+ca)≤2(a2+b2+c2).
∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≤3(a2+b2+c2).
∴a2+b2+c2≥.
证法二:(分析法)
∵a2+b2+c2≥
3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2
2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
∴原不等式成立.
证法三:∵a2+
≥
a,b2+
≥
b,c2+
≥
c,
∴(a2+
)+(b2+
)+(c2+
)
≥
a+
b+
c
=
(a+b+c)=
.
∴a2+b2+c2≥
.
练习册系列答案
相关题目
B．
D．