Question

如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求证：；

（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（III）求二面角的正切值。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角形，  ，所以又因为，所以，即⊥,所以⊥平面。 

（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN， 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM∥平面BCE        

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD，作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD，作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH，因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角，因为FA=FE, ∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的正切值为_。  

解法二： (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°,所以∠AFE= 90°.从而，.所以,,.,.所以EF⊥BE, EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

 M (0,0，),P ( 1, ,0 ).从而=,于是·=·=0， 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM∥平面BCE.              

 (Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.

 ，             

                 即

取y=1，则x=1，z=3。从而。取平面ABD的一个法向量为。

。故二面角F—BD—A的余弦值为

故其正切值为_。