题目内容

 (2009四川卷文)(本小题满分12分)

如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,

(I)求证:

(II)设线段的中点分别为,求证:

(III)求二面角的大小。

【解析】解法一:

因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以∠AEB=45°,

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.

因为BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以

    …………………………………………6分

(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC

∴  PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵  CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴  PM∥平面BCE.                  …………………………………………8分

(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.

∴  ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.

∵  FA=FE,∠AEF=45°,

∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=,则

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

,                                         

在Rt⊿FGH中, ,

∴  二面角的大小为

                      …………………………………………12分                                         

解法二: 因等腰直角三角形,,所以

 
又因为平面,所以⊥平面

所以

两两垂直;如图建立空间直角坐标系,

 (I) 设,则

,∴

从而                                         

于是

         ∴,

       ∵平面平面

       ∴

(II),从而

     于是

     ∴,又⊥平面,直线不在平面内,

      故∥平面

(III)设平面的一个法向量为,并设=(

      

         即

   取,则,从而=(1,1,3)

  取平面D的一个法向量为

                                             

故二面角的大小为

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