题目内容
(2009四川卷文)(本小题满分12分)
如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,
(I)求证:;
(II)设线段、的中点分别为、,求证: ∥
(III)求二面角的大小。
【解析】解法一:
因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以∠AEB=45°,
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
…………………………………………6分
(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分
(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,
在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角的大小为
…………………………………………12分
解法二: 因等腰直角三角形,,所以
|
所以
即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,
(I) 设,则,
∵,∴,
从而
,
于是,
∴⊥,⊥
∵平面,平面,
∴
(II),从而
于是
∴⊥,又⊥平面,直线不在平面内,
故∥平面
(III)设平面的一个法向量为,并设=(
即
取,则,,从而=(1,1,3)
取平面D的一个法向量为
故二面角的大小为
(2009四川卷文)(本小题满分12分)
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(I)求证:;
(II)设线段、的中点分别为、,
求证: ∥
(III)求二面角的大小。