Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明CD⊥平面ADE，再证明平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH，可以证明EH⊥平面ABCD，所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角，在Rt△EBH中求解．

解答：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，
∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∵CD?平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，又∵CD⊥AD，AE∩AD=A，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，
∴EH⊥平面ABCD
所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．
在RT△ADE中，AE=3，DE=4，∴AD=5，EH=2.4  
∵AB∥CD，∴AB⊥AE，∴BE=

34

，
∴sin∠EBH=

EH

BE

=

6 34

85

，
∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

6 34

85

．

点评：本题考查面面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．