Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足，对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且 对x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）证明f(

1

n2+3n+1

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)(n∈N*)；
（4）比较f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)与f(

1

2

)的大小．

Answer 1

分析：（1）要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，
（2）根据函数单调性的定义在（-1，1）上任意取两个值x、y，然后判定f（x）与f（y）的大小关系，从而判定函数单调性；
（3）根据f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)求解f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)，通过化简变形可得结论；
（4）根据第（3）问的结论可得f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)，然后判定f（

1

n+2

）的符合即可得到结论．

解答：解：（1）∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
当-1＜x＜y＜1时，

x-y

1-xy

＜0，由条件知 f(

x-y

1-xy

)＞0，
即f（x）-f（y）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数，
又函数f（x）是奇函数，
∴函数f（x）在（-1，0）上是减函数．
（3）∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
∴f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)=f（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=f(

1

n2+3n+1

)
∴原等式成立
（4）根据f(

1

n2+3n+1

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)(n∈N*)可知
f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)=f（

1

2

）-f（

1

n+2

）
∵x∈（-1，0）时，f（x）＞0，函数f（x）是奇函数
∴f（

1

n+2

）＜0
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)=f（

1

2

）-f（

1

n+2

）＞f（

1

2

）

点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性性，属于中档题，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，同时考查了性质的应用．