Question

已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinx•cosx+m
（1）若f（x）的最大值为1，求m的值
（2）当x∈[0， 

π

4

]时，|f（x）|≤4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先对于所给的三角函数是进行整理，先逆用正弦与余弦的二倍角公式，再利用两角和的正弦公式，做出能够求解最值的形式，根据最值的结果，求出字母系数．
（2）根据所给的x的值，做出函数式的值域，根据由|f（x）|≤4，得-4≤f（x）≤4恒成立．得到m+2≥-4，且m+3≤4，得到-6≤m≤1为所求．

解答：解：（1）f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+m=2sin(2x+

π

6

)+m+1…．（2分）
当sin(2x+

π

6

)=1时，f（x）的最大值为m+3，
由题意，m+3=1，所以m=-2…．（4分）
（2）x∈[0，

π

4

]，则2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]
所以f（x）∈[m+2，m+3]…．（6分）
由|f（x）|≤4，得-4≤f（x）≤4恒成立．
∴m+2≥-4，且m+3≤4
所以-6≤m≤1为所求．…．（8分）

点评：本题考查函数的恒成立问题，考查三角函数的恒等变形，本题解题的关键是求出三角函数式的值域，根据所给的不等式恒成立得到不等式组，本题是一个中档题目．