Question

如图,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,C₁C=CB=CA=2,AC⊥CB,D是棱的中点.

(1)求点B到平面A₁C₁CA的距离;

(2)求二面角BA₁DA的大小.

Answer 1

答案：解法一:(1)∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,

∴CC₁⊥底面ABC.∴CC₁⊥BC.

∵AC⊥BC,又AC∩CC₁=C,∴BC⊥平面A₁C₁CA.

∵BC=2,∴点B到平面A₁C₁CA的距离为2.

(2)分别延长AC、A₁D交于点G,过C作CM⊥A₁G于M,连结BM.∵BC⊥平面A₁C₁CA,∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影.根据三垂线定理,得BM⊥A₁G.∴∠CMB为二面角BA₁DA的平面角.

在平面A₁C₁CA中,∵C₁C=CA=2,D为C₁C的中点,∴CG=2,DC=1.在Rt△DCG中,CM=,

∴tan∠CMB=.即二面角BA₁DA的大小为arctan.

解法二:(1)同解法一.

(2)在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AC⊥BC,分别以向量、、所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C₁(0,0,2),A₁(0,2,2),

D(0,0,1).

∴=(-2,0,1),=(-2,2,2).设平面A₁BD的一个法向量为m=(x,y,z),则

即令x=1,则z=2,y=-1,即m=(1,-1,2).

又平面A₁C₁CA的一个法向量为n=(1,0,0).∴cos〈m,n〉=,

即二面角BA₁DA的大小为arccos.