Question

已知.

（I）求函数在上的最小值；

（II）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（III）证明：对一切，都有成立.

Answer 1

 解：（1）定义域为，，

当单调递减，

当，单调递增. …………………………2分

①无解；             ……………………………3分

单调递减，单调递增…… 8分

在上，有唯一极小值，即为最小值.

所以，因为对一切恒成成立，

所以；                            …………………10分

（3）问题等价于证明，

由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，

易得，当且仅当时取到，   …………………13分

从而对一切，都有成立.     …………………14分