Question

【题目】设函数，

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）若，在定义域内存在，使得，求证：；

（3）记为的反函数，当时，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由题意对函数求导，按照、、分类讨论，解出、的解集即可得解；

（2）求导后，根据函数的单调性可得，令，求导后可证明当时，，进而可得，再由函数的单调性即可得证；

（3）令，求导可得当时，即，作差后放缩即可得证.

（1）由题意，

则，

令，则，，

当时，，，此时，

故函数在，上单调递增；

当时，，

故函数在上单调递增；

当时，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

综上，当时，函数在，上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）证明：由题意，则，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

令，

则，

可知当时，单调递减，

又，所以当时，，单调递增，

又，所以当时，，

所以，所以，

由可得，

所以；

（3）证明：由题意，则原不等式可化为，

令，则，

所以在上单调递减，所以，

所以当时，即，

所以，

所以即.