题目内容
7．
设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线y=x+$\sqrt{2}$与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=$\frac{1}{2}$与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；
（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m-k为定值．
分析 （1）由于直线y=x+$\sqrt{2}$与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，可得$\frac{|0-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=b，解得b．又离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，b2=a2-c2，联立解得即可得出．
（2）把x=$\frac{1}{2}$代入椭圆方程可得：${y}^{2}=1-\frac{1}{16}$，可得⊙D的方程为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{15}{16}$．令x=0，解得y，可得|AB|，利用S△ABD=$\frac{1}{2}|AB|•|OD|$即可得出．
（3）由（1）知：A1（-2，0），A2（2，0），B2（0，1），可得直线A1B2AD的方程，设直线A2P的方程为y=k（x-2），k≠0，且k≠$±\frac{1}{2}$，联立解得E．设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（4k2+1）x2-16k2x+16k2-4=0．解得P．设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，${k}_{{B}_{2}P}={k}_{{B}_{2}F}$．可得F．即可证明2m-k为定值．
解答 （1）解：∵直线y=x+$\sqrt{2}$与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，
∴$\frac{|0-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=b，化为b=1．
∵离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，b2=a2-c2=1，联立解得a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）解：把x=$\frac{1}{2}$代入椭圆方程可得：${y}^{2}=1-\frac{1}{16}$，解得y=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴⊙D的方程为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{15}{16}$．
令x=0，解得y=±$\frac{\sqrt{11}}{4}$，
∴|AB|=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}|AB|•|OD|$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{11}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{11}}{8}$．
（3）证明：由（1）知：A1（-2，0），A2（2，0），B2（0，1），
∴直线A1B2的方程为$y=\frac{1}{2}x+1$，
由题意，直线A2P的方程为y=k（x-2），k≠0，且k≠$±\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，解得$E（\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}）$．
设P（x1，y1），则由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k2+1）x2-16k2x+16k2-4=0．
∴2x1=$\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，∴x1=$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$，y1=k（x1-2）=$\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$．
∴$P（\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}）$．
设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，${k}_{{B}_{2}P}={k}_{{B}_{2}F}$．
即$\frac{\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}-1}{\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}-0}$=$\frac{0-1}{{x}_{2}-0}$，∴x2=$\frac{4k-2}{2k+1}$，∴F$（\frac{4k-2}{2k+1}，0）$．
∴EF的斜率m=$\frac{\frac{4k}{2k-1}-0}{\frac{4k+2}{2k-1}-\frac{4k-2}{2k+1}}$=$\frac{2k+1}{4}$．
∴2m-k=$\frac{2k+1}{2}$-k=$\frac{1}{2}$为定值．
点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立、斜率计算公式、弦长公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
已知抛物线y2=2x上有四点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），点M（3，0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q．