Question

已知函数f(x)=x³-3x.

(1)求函数f(x)在［-3，］上的最大值和最小值；

(2)过点P(2，-6)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.

Answer 1

解：(1)f′(x)=3(x²-1)=3(x+1)(x-1),                                         

当x∈［3，-1］或x∈(1,)时，f′(x)＞0,

∴［-3，-1］、［1，］为函数f(x)的单调增区间.                             

当x∈(-1,1)时，f′(x)＜0,

∴［-1,1］为函数f(x)的单调减区间.4分

又∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f()=-,∴当x=-3时，f(x)取得最小值-18;        

当x=-1时，f(x)取得最大值2.                                             

(2)设切点为Q(x₀,-3x₀),则所求切线方程为y-(-3x₀)=3(-1))(x-x₀).         

由于切线过点P(2，-6)，因此-6-(-3x₀)=3(-1)(2-x₀),解得x₀=0或3.           

∴所求切线方程为y=-3x或y+6=24(x-2)，即3x+y=0或24x-y-54=0.