题目内容

已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1，
an+1
an
=
bn
1-
a
2
n
．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）证明：
a2
b2
+
a3
b
 
3
+
a4
b 4
+…+
an+1
bn+1
＜ln(1+n)＜
a1
b1
+
a2
b
 
2
+
a3
b 3
+…+
an
bn
．
分析：（1）根据对任意n∈N*都有an+bn=1，
an+1
an
=
bn
1-
a
2
n
，
an+1
an
=
bn
1-
a
2
n
=
1-an
1-
a
2
n
=
1
1+an
，进行变形可得
1
an+1
-
1
an
=1，构造等差数列{
1
an
}，即可求出其通项公式，进而求得数列{an}的通项公式，并代入
an+1
an
=
bn
1-
a
n
2
可求得{bn}的通项公式；
（2）对于不等式的右边，可以构造函数f（x）=ln（1+x）-x，，利用导数求出函数的单调性和最值，即可证得结论；对于不等式的左边，构造函数f(x)=ln(1+x)-
x
1+x
，利用导数求出函数的单调性和最值，即可证得结论．
解答：（1）解：∵对任意n∈N*都有an+bn=1，
an+1
an
=
bn
1-
a
2
n
，
∴
an+1
an
=
bn
1-
a
2
n
=
1-an
1-
a
2
n
=
1
1+an
．
∴
1
an+1
=
1
an
+1，即
1
an+1
-
1
an
=1．
∴数列{
1
an
}是首项为
1
a1
，公差为1的等差数列．
∵a1=b1，且a1+b1=1，
∴a1=b1=
1
2
．
∴
1
an
=2+(n-1)=n+1．
∴an=
1
n+1
，bn=1-an=
n
n+1
，
（2）证明：∵an=
1
n+1
，bn=
n
n+1
，∴
an
bn
=
1
n
．
∴所证不等式
a2
b2
+
a3
b
3
 
+
a4
b 4
+…+
an+1
bn+1
＜ln(1+n)＜
a1
b1
+
a2
b
2
 
+
a3
b 3
+…+
an
bn
，
即
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜ln(1+n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
①先证右边不等式：ln(1+n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
令f（x）=ln（1+x）-x，则f′(x)=
1
1+x
-1=-
x
1+x
．
当x＞0时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递减．
∴当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
分别取x=1，
1
2
，
1
3
，，
1
n
．
得ln(1+1)+ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
3
)+…+ln(1+
1
n
)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
即ln[(1+1)•(1+
1
2
)•(1+
1
3
)…(1+
1
n
)]＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
也即ln(2×
3
2
×
4
3
×…×
n+1
n
)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
即ln(1+n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
②再证左边不等式：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜ln(1+n)．
令f(x)=ln(1+x)-
x
1+x
，则f′(x)=
1
1+x
-
1
(1+x)2
=
x
(1+x)2
．
当x＞0时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即ln(1+x)＞
x
1+x
．
分别取x=1，
1
2
，
1
3
，，
1
n
．
得ln(1+1)+ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
3
)+…+ln(1+
1
n
)＞
1
2
+
1
3
+…+
1
1+n
．
即ln[(1+1)•(1+
1
2
)•(1+
1
3
)••(1+
1
n
)]＞
1
2
+
1
3
+…+
1
1+n
．
也即ln(2×
3
2
×
4
3
×…×
n+1
n
)＞
1
2
+
1
3
+…+
1
1+n
．
即ln(1+n)＞
1
2
+
1
3
+…+
1
1+n
．
∴
a2
b2
+
a3
b
3
 
+
a4
b 4
+…+
an+1
bn+1
＜ln(1+n)＜
a1
b1
+
a2
b
2
 
+
a3
b 3
+…+
an
bn
．
点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（2）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}和{bn}满足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
a1an+1
(n∈N*)．且{bn}是以
a为公比的等比数列．
（Ⅰ）证明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，证明数例{cx}是等比数例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
．
已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
2n
3
+
4
9
．
（1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；
（2）当λ=-
1
2
时，试判断{bn}是否为等比数列．
已知数列{an}和等比数列{bn}满足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且数列{an+1-an}是等差数列，n∈N*，
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
12
，3]？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ为实数，且λ≠-18，n为正整数．
（Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
（2011•孝感模拟）已知数列{an}和{bn}满足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
bn
1-4 
a
2
n
．
（I）证明：数列{
1
an
}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3…bnbn+1 
对任意正整数n都成立的最大实数k．

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