Question

【题目】已知函数．

（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；

（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）函数关于原点对称的函数解析式为．函数与的图象上存在关于原点对称的点，等价于方程在有解．

即，，令，，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

等价于等价于

，,，，再利用导数研究函数的单调性、极值，利用分析法即可得证.

（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，

即的图像与函数的图像有交点，

即在上有解.

即在上有解.

设，（），则

当时，为减函数；当时，为增函数，

所以，即.

（2），

在上存在两个极值点，，且，

所以

因为且，所以，

即

设，则

要证，即证，

只需证，即证

设，，

则在上单调递增，，

即

所以，即.