题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B．若|k|≤
2
5
5
，求椭圆C的离心率的取值范围．
分析：设椭圆离心率为e，设F2的坐标为（c，0），设l的方程为y=kx+m，则可求得l与y轴的交点，进而求得B点坐标，带椭圆方程求得e和k的关系式，进而根据k的范围得出关于e的不等式，求得e的范围．
解答：解：设椭圆离心率为e，设F2的坐标为（c，0），其中c2=a2-b2，
设l的方程为y=kx+m，则l与y轴的交点为（0，m），m=-kc，
所以B点的坐标为（
c
2
，-
kc
2
），将B点坐标代入椭圆方程得
c2
a2
+
c2
b2
•k2=4，即e2+
k2
1
e2
-1
=4，
所以k2=（4-e2）•（
1
e2
-1）≤
4
5
，即5e4-29e2+20≤0，解之可得，
4
5
≤e2≤5，
又有椭圆的性质，所以
2
5
5
≤e＜1，
因此椭圆C的离心率取值范围为[
2
5
5
，1）．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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