Question

（2009•枣庄一模）已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

2-logpan

(n∈N*)，求数列{bnbn+1}的前n项和Tn的取值范围；
（3）是否存在正整数M，使得n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的递推公式，进而求解．
（2）将（1）中的结论代入b_n=

1

2-logpan

，求出bn，进而求出b_nb_n+1，利用列项法求出T_n，即可求出T_n的范围；
（3）不等式化简可得(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76，讨论p与1的大小，分别求出满足条件的M，从而得到所求．

解答：解：（1）由题设知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．…（1分）
同时

(p-1)Sn=p2-an (p-1)Sn+1=p2-an+1

两式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
所以（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，即a_n+1=

1

p

an，
可见，数列{an}是首项为p，公比为

1

p

的等比数列．…（4分）
an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2．…（5分）
（2）b_n=

1

2-logpp2-n

=

1

2-(2-n)

=

1

n

．…（7分）
b_nb_b+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

…（9分）
所以，Tn∈[

1

2

，1)…（10分）
（3）a1a4a7…a3n-2=(

1

p

)-1+2+5…(3n-4)=(

1

p

)

n(3n-5)

2

，
a78=(

1

p

)76由题意，要求(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76．…（12分）
①当p＞1时，

n(3n-5)

2

＜76，即3n2-5n-152＜0．
解得-

19

3

＜n＜8．不符合题意，此时不存在符合题意的M．   …（14分）
②当0＜p＜1时，

n(3n-5)

2

＞76，即3n2-5n-152＞0．
解得n＞8，或n＜-

19

3

（舍去）．此时存在的符合题意的M=8．
综上所述，当0＜p＜1时，存在M=8符合题意；
当p＞1时，不存在正整数M，使得命题成立．      …（16分）

点评：本题主要考查数列知识的综合运用，以及证明不等式的能力，同时考查了裂项求和法，属于中档题．