Question

下列命题中正确的是（　　）

• A．y=x+

  1

  x

  的最小值是2
• B．y=2-3x-

  4

  x

  (x＞0)的最大值是2-4

  3

• C．y=sin2x+

  4

  sin2x

  的最小值是4
• D．y=2-3x-

  4

  x

  (x＜0)的最小值是2-4

  3

Answer 1

分析：①由y=x+

1

x

，知x＞0时y≥2，x＜0时y≤-2，判定A是否正确；
②x＞0时，3x+

4

x

≥2

3x• 4 x

=4

3

，知y的最大值是2-4

3

，判定B是否正确；
③由y=sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x• 4 sin2x

=4，“=”成立的条件是sinx=±

2

，判定C是否正确；
④x＜0时，-3x＞0，-

4

x

＞0，得-3x-

4

x

≥2

(-3x)•(- 4 x )

=4

3

，求出y的最小值，判定D是否正确；

解答：解：①∵y=x+

1

x

，当x＞0时y=x+

1

x

≥2，当x＜0时y=x+

1

x

≤-2；∴A不正确；
②∵y=2-3x-

4

x

=2-（3x+

4

x

），在x＞0时，3x+

4

x

≥2

3x• 4 x

=4

3

，当且仅当3x=

4

x

，即x=

2

3

时“=”成立，∴y的最大值是2-4

3

；∴B正确；
③∵y=sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x• 4 sin2x

=4，当且仅当sin²x=

4

sin2x

，即sin²x=2，sinx=±

2

时取“=”，sinx=±

2

不成立；∴C不正确；
④∵y=2-3x-

4

x

=2+（-3x-

4

x

），在x＜0时，-3x＞0，-

4

x

＞0，∴-3x-

4

x

≥2

(-3x)•(- 4 x )

=4

3

，当且仅当-3x=-

4

x

，即x=-

2

3

时“=”成立，∴y的最小值是2+4

3

；∴D不正确；
故选：B．

点评：本题考查了基本不等式的应用问题，应用基本不等式时要注意“=”成立的条件是什么．