Question

求和：

C

r r

+

C

r r+1

+

C

r r+2

+…+

C

r n

(r＜n)．

Answer 1

分析：本题即求（1+x）^r+（1+x）^r+1+（1+x）^r+2+…+（1+x）ⁿ 的展开式中x^r的系数．而 （1+x）^r+（1+x）^r+1+（1+x）^r+2+…+（1+x）ⁿ=

(1+x)n+1-(1+x)r

x

，
故本题即求（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中x^r+1的系数，由此可得结果．

解答：解：由于

C

r r

+

C

r r+1

+

C

r r+2

+…+

C

r n

 为（1+x）^r+（1+x）^r+1+（1+x）^r+2+…+（1+x）ⁿ 的展开式中x^r的系数．
而 （1+x）^r+（1+x）^r+1+（1+x）^r+2+…+（1+x）ⁿ=

(1+x)n+1-(1+x)r

x

，
故本题即求（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中x^r+1的系数，显然，x^r+1的系数为

C

r+1 n+1

，
故

C

r r

+

C

r r+1

+

C

r r+2

+…+

C

r n

=

C

r+1 n+1

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，等比数列的求和公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．