Question

已知Rt△ABC中，,AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在△ADC所在平面的射影E在AC上.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDE;

（Ⅱ）求折起后二面角BADC的大小；

（Ⅲ）求折起后AB与平面BDE所成的角.

Answer 1

（Ⅰ）在对折图中作BO⊥AD于O,连结OE，由条件及三垂线定理知OE⊥AD，

对照原图知点B、O、E共线，∴在原图中

∵BA=BD,∴BE是AD中垂线，

∴∠BDE=∠BAE=90⁰，∴CD⊥DE, 又∵BE⊥平面ACD, ∴CD⊥BE,∴CD⊥平面BDE

（Ⅱ）：由（Ⅰ）知∠BOE就是二面角B-AD-C的平面角，  

如原图，易求得BO=,OE=，∴∠BOE= arccos，

∴二面角B-AD-C的大小为arccos

（Ⅲ）：在对折图中作AF⊥ED于F,连结BF，由条件及知AF⊥平面BDE ,

∴∠ABF就是AB与平面BDE成的角，

如原图，易求得AF=，  ∴∠ABF=30⁰

故AB与平面BDE所成的角为30°．