题目内容

数列{a_n }满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}通项公式
（2）若 $数学公式$ ，{b_n}的前n次和为Bn，若存在整数m，对任意n∈N⁺且n≥2都有 $数学公式$ 成立，求m的最大值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-1+ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-1
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴{ $\text{[math]}$ }是首项为-2，公差为-1的等差数列
∴ $\text{[math]}$ =-2+（n-1）×（-1）=-（n+1）
∴ $\text{[math]}$ ；
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令C_n=B_3n-B_n= $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
∴C_n+1-C_n=[ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]-（ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ =0
∴C_n+1-C_n＞0，∴{C_n}为单调递增数列
∴（C_n）_min=C₂=B₆-B₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴m＜19
又m∈N₊，
∴m的最大值为18．
分析：（1）利用数列递推式，可得{ $\text{[math]}$ }是首项为-2，公差为-1的等差数列，利用等差数列的求和公式，即可求得数列的通项；
（2）确定数列{b_n}的通项，令C_n=B_3n-B_n，确定其单调递增，求出最小值，从而可求m的最大值．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．

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（2011•西城区二模）数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0．
其中正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）

已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x₁，x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，数列{a_n}满足a₁=0，且对任意n∈N^*，a_n=f（n），则f（2010）=（　　）

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
已知a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
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(an+t)(n∈N*)，且{b_n}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

）．又数列{a_n}满足，a₁=

．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=-

，T_n为数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得

成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

设函数f（x）的定义域为R，f(x)=

，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

(n∈N*)；
（1）求{a_n}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式

(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．