Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足a_n+1=3a_n+1，n∈N，求数列{a_n}的
（1）通项公式a_n   
（2）前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3a_n+1得，a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），易判断{a_n+

1

2

}是等比数列，从而可求得a_n+

1

2

，进而可求a_n；
（2）由（1）可表示出S_n，分组后分别运用等比、等差数列求和公式即可求得；

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+1得，a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），
又a₁+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

，所以数列{a_n+

1

2

}各项不为0，
所以数列{a_n+

1

2

}是以

3

2

为首项、3为公比的等比数列，
所以a_n+

1

2

=

3

2

•3n-1=

1

2

•3n，
所以an=

1

2

(3n-1)；
（2）由（1）得
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

（3-1）+

1

2

(32-1)+…+

1

2

（3ⁿ-1）
=

1

2

[（3+3²+…+3ⁿ）-n]
=

1

2

•

3(1-3n)

1-3

-

1

2

n
=

1

4

•3n+1-

1

2

n-

3

4

．

点评：本题考查利用数列递推公式求数列通项公式，考查等比、等差数列的通项公式及求和公式，属中档题．