题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O．求证：（1）直线OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD．
分析：（1）利用三角形的中位线性质可得OE∥PB，再根据直线和平面平行的判定定理证得OE∥平面PBC．
（2）证明PD⊥AC，BD⊥AC，再根据直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面PBD，再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBD．
（2）证明PD⊥AC，BD⊥AC，再根据直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面PBD，再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBD．
解答：
证明：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点，又因为E为PD的中点，故OE是三角形DPB的中位线，所以OE∥PB．
因为OE?平面PBC，PB?平面PBC，所以OE∥平面PBC．…（7分）
（2）因为PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD．又因为BD?平面PBD，PD?平面PBD，且BD∩PD=D，所以AC⊥平面PBD．
又因为AC?平面ACE，所以，平面ACE⊥平面PBD． …（14分）
证明：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点，又因为E为PD的中点，故OE是三角形DPB的中位线，所以OE∥PB．因为OE?平面PBC，PB?平面PBC，所以OE∥平面PBC．…（7分）
（2）因为PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD．又因为BD?平面PBD，PD?平面PBD，且BD∩PD=D，所以AC⊥平面PBD．
又因为AC?平面ACE，所以，平面ACE⊥平面PBD． …（14分）
点评：本题直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E为PB中点
（2008•武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．