Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈[

π

4

，

π

2

]，则f（x）的最小值为

1

．

Answer 1

分析：根据三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x-

π

3

），再由x∈[

π

4

，

π

2

]，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值．

解答：解：∵函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1=-cos2（x+

π

4

）-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

）．
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，故 1≤f（x）≤2，
所以，f（x）的最小值为1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．