Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+1=4a_n-2，且a₁=2．
（Ⅰ） 求证：对任意n∈N^*，a_n+1-2a_n为常数C，并求出这个常数C；
（Ⅱ）如果bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n+1=4a_n-2，且S_n=4a_n-1-2，相减得：a_n+1=4（a_n-a_n-1），（3分）
a_n+1-2a_n=2（a_n-a_n-1），∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）•2^n-1．
又a₂+a₁=4a₁-2，∵a₁=2，∴a₂=4．∴a_n+1-2a_n=0．
∴C=0．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=

1

anan+1

，
∴b1=

1

a1a2

=

1

8

．
bn=

1

anan+1

=

1

22n+1

，
所以数列{b_n}是等比数列，
∴Sn=

1 8 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=

1

6

(1-(

1

4

)n)…（12分）