Question

已知函数f(x)=x2-

1

x

，x∈（1，2]，（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并用定义证明你的结论；（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）任取3≤x₁＜x₂≤5，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（Ⅱ）根据（1）可知函数的单调性，将区间端点的值代入即可求出函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）解：f（x）在（1，2]上为增函数．证明如下：
设x₁，x₂是区间（1，2]上的任意两个实数且x₁＜x₂，
则 f(x1)-f(x2)=x12-

1

x1

-x22+

1

x2

=（x₁-x₂）（x₁+x₂）-

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（x₁+x₂+

1

x1x2

）
∵1＜x₁＜x₂≤2
∴x₁+x₂+

1

x1x2

＞0　x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0　　即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（1，2]上为增函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在（1，2]上为增函数，
所以f（x）在（1，2]上的值域：{y|0＜y≤

7

2

}．

点评：本题主要考查函数单调性的判断与证明，以及应用单调性求函数的最值，同时还考查了学生的变形，转化能力，属中档题．