题目内容

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成锐二面角的余弦值．

（1）证明：以D为坐标原点，DA、DB、DD₁分别为
x、y、z轴建立空间直角坐标系（D₁是C₁B₁的中点），则A（2 $\text{[math]}$ a，0，0），B（0，a，0），F（0，-a，2a），B₁（0，a，3a），（4分）
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

由 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，得B₁F⊥DF，B₁F⊥DA，
∵DF∩DA=D
∴B₁F⊥平面ADF；（6分）
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面AA₁B₁B的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，可取 $\text{[math]}$ ，（8分）
由cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
即所求二面角的余弦值是 $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（1）以D为坐标原点，DA、DB、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（D₁是C₁B₁的中点），建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，即可证得B₁F⊥平面ADF；
（2）求得平面AA₁B₁B的一个法向量 $\text{[math]}$ ，利用cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，即可求得二面角的余弦值．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．