Question

１. (理)（本小题共14分）已知函数

（1）若 时，函数 在其定义域内是增函数，求b的取值范围

（2）在（1）的结论下，设函数 ，求函数 的最小值；（3）设函数的图象C₁ 与函数的图象C₂ 交于P,Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁ 在M处的切线与C₂ 在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)    (2)    （3）略

解析:

（1）依题意：  在是增函数

对恒成立，

（2）设   则 函数化为  

 当函数y在【1，2】上为增函数，

当

 当函数y在【1，2】上为减函数

综上：当 ； 当；

 当 

（3）设点P、Ｑ的坐标是（x₁,y₁）、（x₂，y₂），且0<x₁<x_{2 ,}，则点R的横坐标为

。C₁在点M处的切线斜率为。C₂在点N处的切线斜率为。假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则，则

=y₂—y₁=lnx₂—lnx₁=ln

    设u=>1，则lnu=,u>1   ①

令，则

   上单调递增，故

这与①矛盾，假设不成立，故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行。