Question

设向量

a

=(4cosα，sinα)，

b

=(sinβ，4cosβ)，

c

=(cosβ，-4sinβ)
（1）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

b

+

c

|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：

a

∥

b

．

Answer 1

（1）∵

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），

a

与

b

-2

c

垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．
（2）∵

b

+

c

=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ

=

17-15sin2β

，
∴当sin2β=-1时，|

b

+

c

|取最大值，且最大值为

32

=4

2

．
（3）∵tanαtanβ=16，∴

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，
即

a

=（4cosα，sinα）与

b

=（sinβ，4cosβ）共线，
∴

a

∥

b

．