Question

【题目】已知，数列的前n项和为，且；数列的前n项和为，且满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，问：数列中是否存在不同两项，（，i，），使仍是数列中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）存在，，

【解析】

（1）先根据，求出，再根据可得，然后两式作差，得到，再求出首项，进而可得数列的通项公式；
（2）根据，通过递推，可证数列为等差数列，即可求出通项公式；
（3）由，假设数列中存在不同两项，（，，），然后根据条件找出满足条件的，值即可.

（1）∵数列的前n项和为，且满足

∴，

由，得.
∴，且，即.
∴数列是首项为，公比为2的等比数列

∴

（2）∵①

时，②

①②得

∴，

时，，∴

∴

∴为等差数列

∴

（3），假设中存在不同的两项，（），使（）

注意到.

∴单调递增

由，则.

∴

令（），∴

∴

∵

∴，而

∴，

令，则

∴为单调递增，注意到时，，

∴m只能为1，2，3

①当时，

∴，故i只能为1，2，3

当时，，此时

当时，，此时无整数解，舍

当时，，此时，无正整数解，舍去

②当时，，此时

∴，此时，无解

③当时，，此时，无正整数解，舍去.

综上：存在，满足题意.