题目内容
（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）若y=f（x）在[-
，
]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．
（1）若y=f（x）在[-
| π |
| 4 |
| 2π |
| 3 |
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
分析：（1）已知函数y=f（x）在[-
，
]上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得
≥
，且-
≤-
，解出即可；
（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2sin2(x+
)+1．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．
| π |
| 4 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2ω |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2ω |
| π |
| 4 |
（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2sin2(x+
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵函数y=f（x）在[-
，
]上单调递增，且ω＞0，
∴
≥
，且-
≤-
，
解得0＜ω≤
．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移
个单位，在向上平移1个单位，得到y=2sin2(x+
)+1，
∴函数y=g（x）=2sin2(x+
)+1，
令g（x）=0，得x=kπ+
，或x=kπ+
（k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为
或
．
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b-a-14π≥
．
另一方面，在区间[
，14π+
+
]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+
=
．
| π |
| 4 |
| 2π |
| 3 |
∴
| π |
| 2ω |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2ω |
| π |
| 4 |
解得0＜ω≤
| 3 |
| 4 |
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴函数y=g（x）=2sin2(x+
| π |
| 6 |
令g（x）=0，得x=kπ+
| 5π |
| 12 |
| 3π |
| 4 |
∴相邻两个零点之间的距离为
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b-a-14π≥
| π |
| 3 |
另一方面，在区间[
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 12 |
因此b-a的最小值为14π+
| π |
| 3 |
| 43π |
| 3 |
点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．
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