Question

已知函数f（x）=

1

2

x²sinθ+

3

xcosθ，其中θ∈R，那么g（θ）=f′（1）的取值范围是（　　）

• A、[-1，1]
• B、[-2，2]
• C、[-

  3

  ，

  3

  ]
• D、[-

  13

  2

  ，

  13

  2

  ]

Answer 1

分析：根据题意先求出f（x）的导数f′（x），令x=1求出f′（1）即得到g（θ），利用三角函数诱导公式转化成正弦函数求出最值得到g（θ）的范围即可．

解答：解：∵f（x）=

1

2

x²sinθ+

3

xcosθ，则f′（x）=xsinθ+

3

cosθ
当x=1时，g（θ）=f′（1）=sinθ+

3

cosθ=2（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）=2（cos

π

3

sinθ+sin

π

3

cosθ）=2sin（θ+

π

3

）
∵θ∈R，当θ+

π

3

=

π

2

即θ=

π

6

时正弦函数g（θ）达到最大，最大值等于2；
当θ+

π

3

=-

π

2

即θ= -

5π

6

时正弦函数g（θ）达到最小，最小值等于-2．
∴g（θ）的取值范围为[-2，2]．
故答案为B

点评：本题考查学生求函数导数的能力，同时要会运用三角函数的诱导公式以及正弦函数求最大值的方法．