Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），且它的离心率与双曲线-y²=1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足=+，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据双曲线的标准方程，可得其离心率，进而根据题设可求得椭圆的离心率．再根据椭圆的顶点A的坐标，进而可求得b和a，椭圆的方程可得．
（2）先设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），直线和椭圆相交，联立方程可得含有k的一元二次方程，再根据韦达定理可知x₁+x₂和x₁•x₂，再根据=+，用点A，B表示点M，代入椭圆的标准方程可得k．
解答：解：（1）∵双曲线-y²=1的离心率为，
∴椭圆的离心率为．
又∵b=1，∴a=2．
∴椭圆的方程为+y²=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
由得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=0．
∵=+，
∴m=（x₁+x₂），n=（y₁+y₂），
∵点M在椭圆上，∴m²+4n²=4，
∴（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²
=[（x₁²+4y₁²）+3（x₂²+4y₂²）+2x₁x₂+8y₁y₂]
=[4+12+8y₁y₂]=4．
∴y₁y₂=0，
∴（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=k•（-）+1=0，
即k²=，∴k=±．
此时△=（8k）²-4（1+4k²）×0=64k²=16＞0
∴k的值为±．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．