Question

如图，是某三棱柱被截去一部分后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，CF=2AD，M是DF的中点．侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，．有关数据如图所示．

（1）求该几何体的体积；
（2）求证：EM⊥平面ACDF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD，QD，该几何体的体积V=V_{三棱柱PDQ-ABC}+V_D-EFPQ然后求解即可．
（Ⅱ）取BC中点O，EF中点R，连接OA，OR，以O为原点，OB，OR，OA所在直线分别为x，y，z轴．建立空间直角坐标系，求平面ABED的法向量

n2

，平面DEF的法向量为

n1

，利用 cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1| |n2 |

求二面角B-DE-F的余弦值．

解答：
解：（Ⅰ）取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，
连接PD，QD，AD∥CP，且AD=CP．四边形ACPD为平行四边形，
∴AC∥PD，∴平面PDQ∥面ABC．
∴V=V三棱柱PDQ-ABC+VD-EFPQ=

1

2

×22sin60°×2+

1

3

×

(1+2)×2

2

3

=3

3

；（5分）
（Ⅱ）取BC中点O，EF中点R，连接OA，OR．
则OA⊥BC，∴OA⊥平面BCFE，OA⊥OR．
又∵OR⊥BC，以O为原点，OB，OR，OA所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，

3

），E（1，3，0），F（-1，4，0）
设平面DEF的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)
∵

n1 ⊥ EF n1 ⊥ DE

∴

n1 • EF =0 n1 • DE =0

∵

EF

=(-2，1，0)

DE

=(1，1，-

3

)
∴

-2x1+y1=0 x1+y1- 3 z1=0

令 Z1=

3

得x1=1，y1=2∴

n1

=(1，2，

3

)
设平面ABED的法向量

n2

=(x2，y2，z2)
∵

n2 ⊥ BE n2 ⊥ DE

∴

n2 • BE =0 n2 • DE =0

BE

=(0，3，0)，

DE

=(1，1，-

3

)，∴

3y2=0 x2，+y2- 3 z2=0

令 z2=1 得x2=

3

，y2=0，∴

n2

=(

3

，0，1)
∴

n1

•

n2

=2

3

∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1| |n2 |

=

6

4

，
显然二面角B-DE-F的平面角为钝角，
所以二面角B-DE-F的余弦值为 -

6

4

．（12分）

点评：本题考查三视图求体积，求组合几何体的面积、体积问题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，解答的关键是建立空间坐标系后利用空间向量解决，是中档题．