题目内容

已知数列{an}满足递推式an=2an-1+1（n≥2），其中a3=7
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列（bn}满足bn=
nan+1
，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（1）an=2an-1+1两边同时加上1，构造出数列{an+1}是以2为公比的等比数列，通过数列{an+1}的通项公式求出
{an}的通项公式
（2）由（1）求得bn=
n
an+1
=
n
2n
，利用错位相消法求和即可．
解答：解：（1）由已知，a3=2a2+1，得a2=3，同理得a1=1
在an=2an-1+1两边同时加上1，得出an+1=2（an-1+1），所以数列{an+1}是以2为公比的等比数列，
 首项为a1+1=2故an+1=2×2n-1=2n
化简得数列{an}的通项公式为an=2n-1．
（2）bn=
n
an+1
=
n
2n

Sn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n-1
2n-1
+
n
2n
①
1
2
Sn=
1
22
+
2
23
+…+
n-1
2n
+
n
2n+1
②
①-②得
1
2
Sn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1

故Sn=2-
n+2
2n
点评：本题考查数列的递推公式和通项公式，错位相消法求和计算，考查转化计算，构造能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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