Question

设f(x)=2aex+

1

aex

+b(a＞0)．
（1）若f（0）=0，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把f（0）=0，代入f（x）可以得出b关于a的表达式，再根据均值不等式，求出b的取值范围；
（2）b=0，可以求出f（x）的解析式，对f（x）进行分析，讨论2a²与1的大小，求出f（x）的单调区间，从而求出最小值；

解答：解：（1）∵f（0）=0，f(x)=2aex+

1

aex

+b(a＞0)
所以得b=-(2a+

1

a

)，
由于a＞0，
所以2a+

1

a

≥2

2

，
于是b的取值范围是(-∞，-2

2

]
（2）当b=0时，f(x)=2aex+

1

aex

，f(x)=

2a2e2x-1

aex

，由于x≥0，所以e^x≥1．
①当2a²≥1即a≥

2

2

时，2a²e^2x-1≥0，
故f（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
其最小值为f(0)=2a+

1

a

②当2a²＜1即0＜a＜

2

2

时，f（x）=0，得x=

1

2

ln(

1

2a2

)，
且当0＜x＜

1

2

ln(

1

2a2

)时，f（x）＜0；当x＞

1

2

ln(

1

2a2

)时，f（x）＞0
故f（x）在x=

1

2

ln(

1

2a2

)处取得极小值，由于极小值唯一，所以极小值就是最小值．
最小值为f(

1

2

ln(

1

2a2

))=2ae

1

2

ln(

1

2a2

)+

1

ae 1 2 ln( 1 2a2 )

=2

2

综上，当a≥

2

2

时，f（x）在[0，+∞）上最小值为2a+

1

a

；
当0＜a＜

2

2

时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为2

2

点评：此题主要考查函数值的代入，第二问求函数的单调区间，没有利用导数进行求解，直接进行讨论，会比较简单些！