Question

已知函数f（x）=lnx+2x
（1）判断f（x）的单调性并用定义证明；
（2）设g(x)=ln

x+2

x-2

，若对任意x₁∈（0，1），存在x₂∈（k，k+1）（k∈N），使f（x₁）＜g（x₂），求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函数的定义域，然后利用函数单调性的定义进行证明．（2）利用函数的单调性求实数k的最大值．

解答：解：（1）增函数     …（1分）
因为函数的定义域为（0，+∞），
设x₁＞x₂＞0…（2分）
则f（x₁）-f（x₂）=lnx₁-lnx₂+2（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数      …（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函数
∴f（x₁）＜f（1）=2…（6分）
令g（x₂）≥2即ln

x2+2

x2-2

≥2即x2+2≥e2(x2-2)
得x2≤

2e2+2

e2-1

=

2(e2-1)+4

e2-1

=2+

4

e2-1

∵2+

4

e2-1

∈(2，3)…（8分）
∴k_max=2…（10分）

点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用定义法是判断函数单调性中比较常用的方法．