题目内容

如图，已知圆G： $数学公式$ ，定点 $数学公式$ ，M为圆上一动点，P点在TM上，N点在GM上，且满足 $数学公式$ ，点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线 E的方程；
（Ⅱ）设曲线E交直线l：y=k（x+1）于A、B两点，与x轴交于点C，若 $数学公式$ ，若△ABO的面积是 $数学公式$ ，求a值．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ =0，
∴|NM|=|NT|，
∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2 $\text{[math]}$ a …2分
∴N 的轨迹是以G（- $\text{[math]}$ a，0）为焦点的椭圆，且长轴长为2a，
∴短轴长为 $\text{[math]}$ ，
所以E的方程为：x²+3y²=a²．…4分
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ =0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以由根与系数的关系可得：y₁+y₂= $\text{[math]}$ …①，y₁y₂= $\text{[math]}$ …②…6分
∵ $\text{[math]}$ ，
∴y₁=-2y₂ …③
由①③解得：y₂=- $\text{[math]}$ …④…8分
所以S_△= $\text{[math]}$ …11分
将k=± $\text{[math]}$ 代入②③④解得：a=± $\text{[math]}$
满足△＞0 …12分
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ =0可得|NM|=|NT|，∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2 $\text{[math]}$ a，再根据椭圆的定义可得曲线E的方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程再结合根与系数的关系可得：y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$ ，再结合 $\text{[math]}$ 可得y₁=-2y₂，即可求出y2，再利用其表示出三角形的面积，进而求出k的取值，即可得到a的取值．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，解题的关键是掌握圆锥曲线的定义，由题设条件判断出所求的轨迹是椭圆，以及能将向量的数量积转化为两个点的坐标关系，以利于用直线与圆锥曲线的方程研究参数的取值，本题综合性强运算较繁杂，做题时要严谨认真．