Question

【题目】函数．

（1）当时，求方程的根的个数；

（2）若恒成立，求的取值范围．

注： 为自然对数的底数

Answer 1

【答案】（1）两个 （2）

【解析】

（1）转化为研究函数零点问题，利用导数研究其单调性，再根据零点存在定理确定零点个数；

（2）先转化为对应函数最值问题：，再令，转化为解不等式，最后根据导数研究新函数单调性，根据单调性解不等式得结果.

（1）当时，构造函数，求导得：，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

∵．

又∵，

∴，使，即存在两个零点，

∴方程存在两个根．

（2），

i）当时，，不合题意，舍去；

ii）当时，由可得，列表：

	-	0	+
		极小值

据表可得，，依题意有

令，则上式等价于，等价于，

构造函数，

记函数，易证得在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴，∴在上单调递增，注意到，

∴．

综上所述，．