Question

已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且cosA(

3

sinA-cosA)=

1

2

．
①求角A的大小．
②若a=2

2

，S△ABC=2

3

，求b，c．

Answer 1

分析：①把已知等式的左边去括号后，分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得出sin（2A-

π

6

）的值为1，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
②利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，根据完全平方公式变形后，将cosA，a及bc的值代入，求出b+c的值，将bc=8与b+c=2

2

联立组成方程组，求出方程组的解集即可得到b与c的值．

解答：解：①∵cosA（

3

sinA-cosA）=

1

2

，
∴

3

sinAcosA-cos²A=

3

2

sin2A-

1

2

（1+cos2A）=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A-

1

2

=

1

2

，
即sin（2A-

π

6

）=1，又A为三角形的内角，
∴2A-

π

6

=

π

2

，
解得：A=

π

3

；
②∵a=2

2

，S_△ABC=2

3

，sinA=

3

2

，
∴

1

2

bcsinA=2

3

，即bc=8①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
即8=（b+c）²-24，解得：b+c=4

2

②，
联立①②，解得：b=c=2

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．