Question

已知函数f(x)=

x2+a

x

，且f(1)=2．
（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=2求出a的值，得f（x）的解析式，从而判定f（x）的奇偶性．
（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上的增减性．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

x2+a

x

，且f(1)=2．
∴a+1=2，∴a=1，
∴f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，
∴f（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，
∴f(-x)=-x-

1

x

=-f(x)，
∴f（x）是定义域上的奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1-x2+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)

(x1x2-1)

x1•x2

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
又x₁，x₂∈（1，+∞），
∴x₁•x₂＞1⇒x₁•x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定与证明问题，是基础题．