Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2=

1

2

bc．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos2

A

2

+cos2A的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过b2+c2-a2=

1

2

bc根据余弦定理可求出cosA的值．
（Ⅱ）利用二倍角公式对cos2

A

2

+cos2A化简，把（Ⅰ）中cosA的值代入即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵b2+c2-a2=

1

2

bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

4

．
∴cosA=

1

4

．
（Ⅱ）∵cos2

A

2

+cos2A=

1

2

+

1

2

cosA+2cos2A-1
=2cos²A+

1

2

cosA-

1

2

，
由（Ⅰ）知cosA=

1

4

，代入上式得cos2

A

2

+cos2A=2（

1

4

）²+

1

2

×

1

4

-

1

2

=-

1

4

．

点评：本题主要考查了余弦定理和二倍角公式的应用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．