Question

如图，三棱锥V-ABC中，AB=AC=VB=VC=

5

，BC=2，VA=2

2

．
（1）求证：面VBC⊥面ABC；
（2）求直线VC与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点D，连接VD、AD，说明∠VDA为二面角面VBC与面ABC的平面角，证明∠VDA=90°．即可证明面VBC⊥面ABC．
（2）由（1）得VD⊥平面ABC，说明∠VCD为线VC与平面ABC所成的角，在Rt△VCD中，求出cos∠VCD，得到直线VC与平面ABC所成角的余弦值．

解答：解：（1）证明：取BC的中点D，连接VD、AD，
由已知得，△VBC为等腰三角形，BD=

1

2

BC=1，
∴有VD⊥BC，VD=

VB2-BD2

=2，
同理可得AD⊥BC，AD=2，
∴∠VDA为二面角面VBC与面ABC的平面角，
又△VAD中，AD=VD=2，VA=2

2

．
∴∠VDA=90°．
∴面VBC⊥面ABC．
（2）由（1）得VD⊥平面ABC，
∴CD为斜线VC在平面ABC上的射影，
∠VCD为线VC与平面ABC所成的角，
Rt△VCD中，VC=

5

，CD=

1

2

BC=1，
∴cos∠VCD=

CD

VC

=

5

5

．
∴直线VC与平面ABC所成角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明方法，考查直线与平面所成角，考查空间想象能力．