Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）．设x=0是f（x）的极值点，
（1）求m；
（2）并讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，
（2）将m代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=e^x-ln（x+m），
∴f′(x)=ex-

1

x+m

，
又∵x=0是f（x）的极值点，
∴f′（0）=1-

1

m

=0，解得m=1．
（2）由（1）知，函数f（x）=e^x-ln（x+1），其定义域为（-1，+∞）．
∵f′（x）=e^x-

1

x+1

=

ex(x+1)-1

x+1

．
设g（x）=e^x（x+1）-1，
则g′（x）=e^x（x+1）+e^x＞0，
则g（x）在（-1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）=0，
∴当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
故f（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键．