Question

已知函数f(x)=lg(x+

a

x+1

-1)，其中a是大于零的常数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；
（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

（1）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，
因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；
当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；
当0＜a＜1时，定义域为(-1，-

1-a

)∪(

1-a

，+∞)．
（2）令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，
当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2≥2

a

-2，
当且仅当x+1=

a

x+1

即x=

a

-1时等号成立．
故f（x）的最小值为lg(2

a

-2)．
（3）?x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，又x∈[0，+∞），
则a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞2．