Question

定义在R上的函数f（x）对一切实数x、y都满足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）•f（y），已知f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），则f（x）在R上的值域是（　　）

A．R

B．（0，1）

C．（0，+∞）

D．（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由题设条件，可先令x=y=0，解得f（0）=1，再令y=-x，得f（x）•f（-x）=1，从而结合f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），解出f（x）在（-∞，0）上的值域，即可得出函数在R上的值域，选出正确选项

解答：解：因为定义在R上的函数f（x）对一切实数x、y都满足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=y=0可得f（0）=f（0）•f（0），
解得f（0）=1
再令y=-x，则可得f（0）=f（x）•f（-x）=1，
又f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），
所以f（x）在（-∞，0）上的值域为（1，+∞）
综上，f（x）在R上的值域是（0，1）∪（1，+∞）
故选D

点评：本题考查函数求抽象函数的值域，处理题设中所给的恒等式得到相应的结论是解题的关键，此类题需要有一定的观察推理能力，综合性强，培养了运算能力及推理能力，属于中档题