Question

已知f（x）=ax-lnx＞0对一切x＞0恒成立，则实数a的取值范是

（

1

e

，+∞）

．

Answer 1

分析：f′（x）=a-

1

x

，（x＞0），由f′（x）=a-

1

x

=0，得a=

1

x

＞0．从而导出f（x）=ax-lnx在a=

1

x

，即x=

1

a

时，取最小值：f(x)min=f(

1

a

) =1-lna＞0，所以0＜lna＜1，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：∵f′（x）=a-

1

x

，（x＞0）
∴由f′（x）=a-

1

x

=0，得a=

1

x

＞0
∴由f′（x）=a-

1

x

＞0，得a＞

1

x

，
x＞

1

a

时f（x）=ax-lnx是增函数，增区间是（

1

a

，+∞）．
∴由f′（x）=a-

1

x

＜0，得a＜

1

x

，
∴x＜

1

a

时f（x）=ax-lnx是减函数，减区间是（0，

1

a

）；
∴f（x）=ax-lnx在x=

1

a

时，取最小值：
f(x)min=f(

1

a

) =1-ln(

1

a

)＞0，
∴0＜ln（

1

a

）＜1，
∴e＞

1

a

．
∴实数a的取值范围是（

1

e

，+∞）．
故答案为：（

1

e

，+∞）．

点评：本题考查实数a的取值范围，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．