题目内容
已知数列{an}是等比数列,数列{bn}满足bn=
(lga1+lga2+…+lgan)(n∈N*),记Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).(1)若数列{an}的首项a1=1 000,公比q=
,求数列{bn}的通项公式.
(2)在(1)的条件下,求Sn的最大值.
(3)是否存在实数k,使得
对于任意的正整数n恒成立?若存在,请求出实数k的值;若不存在,请说明理由.
(1)解析：an=a1qn-1=1 000×()n-1=104-n,
bn=(lga1+lga2+…+lgan)?
=lg(a1·a2·…·an)?
=
lg10［3+2+1+…+(4-n)］???
=
lg10
=
·
·lg10=
.?
故数列{bn}的通项公式为bn=
(n∈N*).?
(2)Sn=b1+b2+…+bn?
=
=
=?-
n2+
n,?
利用二次函数的性质,并结合n∈N*,知当n=6或n=7时,(Sn)max=
.?
(3)∵
=
·
=(
)·
=
(
),?
∴条件等式左边=
［(
-
)＋（
)+…+(
)］
=
(
-
)=
·?
?
=
·
=
·
=
.?
由条件知存在k=-1使
=
恒成立.
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