Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面A₁B₁C₁D₁ 上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，

DA

，

DC

，

DD1

分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．
（2）因为点G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可设G（x，y，2）．根据线面垂直，则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直，可构造关于x，y的方程组，解方程组可得G点位置．

解答：解：（1）以D为原点，

DA

，

DC

，

DD1

分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，
则有D₁（0，0，2），C₁（0，4，2），E（3，3，0），F（2，4，0），
于是

EC1

=（-3，1，2），

FD1

=（-2，-4，2），
设设EC₁与FD₁所成角为β，
则cosβ=

| EC1 • FD1 |

| EC1 |•| FD1 |

=

21

14

．
∴异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值为

21

14

．
（2）因为点G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可设G（x，y，2）．

DG

=（x，y，2），

FD1

=（-2，-4，2），

EF

=（-1，1，0）．
由

DG • FD1 =0 DG • EF =0

得

-2x-4y+4=0 -x+y=0

解得

x= 2 3 y= 2 3

故当点G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，
且到A₁d₁，C₁D₁ 距离均为

2

3

时，DG⊥平面D₁EF

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线的夹角，其中建立空间坐标系，将空间线面关系问题转化为向量夹角问题是解答的关键．