Question

已知函数f（x）=3ax-2x²+lnx，a为常数．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=3x-2x²+lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f′(x)=3-4x+

1

x

=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵f′(x)=3a-4x+

1

x

．
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．
∴3a-4x+

1

x

≥0，或3a-4x+

1

x

≤0在区间[1，2]上恒成立．
即3a≥4x-

1

x

，或3a≤4x-

1

x

在区间[1，2]上恒成立．
设h（x）=4x-

1

x

，
∵h′（x）=4+

1

x2

＞0
∴h（x）=4x-

1

x

在区间[1，2]上是增函数．
h（x）_max=h（2）=

15

2

，h（x）_min=h（1）=3
∴只需3a≥

15

2

，或3a≤3．
∴a≥

5

2

，或a≤1．