Question

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₅=256；S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=2，5S₅=2S₈．
（1） 求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2） 设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，求T_n．

Answer 1

解：（1）设{a_n}的公比为q，由a₅=a₁q⁴得q=4，所以a_n=4^n-1．
设{b_n}的公差为d，由5S₅=2S₈得5（5b₁+10d）=2（8b₁+28d），，
所以b_n=b₁+（n-1）d=3n-1．
（2）T_n=1•2+4•5+4²•8++4^n-1（3n-1），①
4T_n=4•2+4²•5+4³•8++4ⁿ（3n-1），②
②-①得：3T_n=-2-3（4+4²++4ⁿ）+4ⁿ（3n-1）
=-2+4（1-4^n-1）+4ⁿ（3n-1）
=2+（3n-2）•4ⁿ
∴T_n=（n-）4ⁿ+
分析：（1）直接利用a₁=1，a₅=256求出公比即可求出{a_n}的通项公式；把5S₅=2S₈转化为用首项和公差来写求出公差即可求{b_n}的通项公式；
（2）直接利用（1）的结论对数列{a_n•b_n}用错位相减法求和即可求T_n．
点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．